研究对象特性的因果关系—遵循牛顿定律F=MA
由常力到变力—力与时间-位移-速度-状态等有关联，比如弹性力-与位移有关
振动/震动的基本理论与建模
2.2.1数学基础通论
这里仅涉及与机械振动研究最紧密的数学基础，它们是由物理模型的连续性产生的连续函数描述与表达，由物理模型的非连续性产生的非连续函数描述与表达，由物理模型的离散性产生的离散函数描述与表达等等。由物理学的质点模型产生的常微分、常微分方程的描述与表达，由物理学的弹性体模型产生的多元函数微分学（偏微分）、偏微分方程的描述与表达等。由于研究物体振动的规律，即一个物体相对于另一个物体的位置（X、Y、Z、α、β、θ）随时间（t）变化的规律，或者一个物体内部各部分。之间的相对位置随时间变化的规律。因此位置（X、Y、Z、α、β、θ）的确定需要坐标系，位置关系需要几何学（平面几何、立体几何、解析几何、微分几何、矢量与场论等），几何关系的分析可以利用代数学（初等代数、高等代数、线性代数等），位置关系的数学表述通常是函数形式。这样以来机械振动的分析可以使用初等函数、微积分学、常微分方程理论、偏微分方程理论、数学物理方法等。深入的研究还必须掌握概率统计、随机理论、数值分析（计算方法）、计算机及其高级语言等知识。这些知识的掌握有利于物理模型的建立，有利于物理模型的数学化。只有将物理关系转变为数学“函数”才能进行精确的定量分析，这是近现代主要发源于欧洲的科学技术的最根本的基础思想。
将物理关系转变为数学“函数”，实质上是建立数学模型。也就是用一些数学符号表述自然与工程现象，表述物理模型要说明的问题的数量本质。用数学模型获得的信息是更深刻的，常常带有更普遍的意义。数学模型通常含有时间参数，这使得人们可以解释对已有的观察到的现象进行解释，也可以对未来的相近的、类似的现象进行预测。有时这种纯数学的预测对科学的发展起到止关重要的作用。数学模型还把不同的学科联系在一起，使得学科交叉、互相借用、取长补短、相互促进、协调统一、减少重复等得以实现。
特别要提及的第一个重点是二阶常微分方程。符合牛顿第二定律F(t,x,x’)=mx”的力学现象，在数学上都将归结为二阶常微分方程。常见的二阶常微分方程。若方程中系数A，B，C是常数，二阶常系数线性非其次的常微分方程。解这类方程通常用特征值法，即用特征方程Ar2+Br+C=0的根确定其次解，再根据F的函数形式与X的函数形态确定特解。否则，便是一个二阶变系数非线性非其次的常微分方程。而这一类方程绝大多数没有统一的精确的解析解。一般采用简化为线性方程的或其他的可解方程获得近似解答。或者采用数值解法、图解法、其他变换解法等。现代已广泛使用计算机进行数值求解，解的近似程度与现实情况已经非常接近，有的可达到很理想的结果。所谓的理想结果，是指在工程设计、计算、测量等应用过程中人们完全可以接受的结果。
特别要提及的第二个重点是数学物理方法中涉及到的偏微分方程。也就是含有初始条件与边界条件的物理问题。用数学的观点则是，在数学上是带有确切物理意义的、可以用函数表达其初始条件与边界条件的偏微分方程。这样的方程通常采用分离变量法、多元函数降为一元函数方法、数值法、泛函分析法、变分法等求解。由于带有确切的物理意义，这给数学简化与求解提供了更多的信息或说条件（用于确定函数关系的方程）。在数学上有存在性、唯一性、收敛性等特征的函数关系，若没有确切的物理意义，经常难以求解出解析解，或得到数值解却不能认定其可靠性与真实性等。求解复杂的数学问题时，弄清楚数学表述的物理意义就带有根本性的作用了。
特别要提及的第三个重点是数学中的概率统计与随机理论。这里的许多数学名词与概念应该反复研读，反复应用与体会，只有这样才能抓住实际问题与工程问题的振动本质。罗列如下：
必然事件是确定性事件。随机事件A—简称事件是不确定性事件。是自然界中，在一定条件下，可能出现、也可能不出现的那类现象；其特点是：相同条件下，可以重复进行，每次实验结果不止一个。在每次实验之前，虽能估计结果的可能范围，但不能确定究竟哪个会出现？每一个可能出现的结果称作基本事件（元素）或简单事件。组合事件：几个可能出现的结果都满足一个前提（奇数事件）；样本空间—基本事件集。概率P（A）—随机事件出现的可能性的数字表示，是对事件发生可能性大小的度量。
概率的含义
随机实验三要素：（概率空间）Ω--全部基本事件组成的样本空间。β--所有可观察到的事件A（组合事件A）构成的场。P--定义在β上的概率函数值。
随机变量Ｘ：样本空间中基本事件(互不相容的等可能事件)的数值化，而这种数值化的结果是得到一个关于基本事件（ω）的单值函数—称随机变量。Ｘ＝Ｘ（ω）；Ω＝{ω}确定的范围，自变量为ω。随机变量是用来表示随机试验各种结果的变量，随机试验的一种结果称为随机变量的一个可能值。随机变量可以定义为这些可能值的集合,可用以各自母如X表示。这样便有离散型随机变量与连续型随机变量之分。对于不具有明显的数字性质的（例如花色问题）问题，用数字化的方法将其用离散型随机变量表述，可以成功的研究它们的统计特性。随机变量的概率分布研究是最基本的方法。不但要知道随机变量取些什么数值，重要的是应该知道它取这些数值的概率，例如：某随机振动中的振幅可以出现3mm，5mm，9mm等，还应该确定各自出现的概率，这样才能确定它的振动特性。概率分布的基本表示形式（描述方法）有：分布列、分布函数、分布密度等。对于离散型随机变量主要的分布有：（0，1）分布、二项分布、泊松分布。对于连续型随机变量主要的分布有：均匀分布、正态分布（高斯分布）、指数分布等。为了避免求解概率分布的困难，结合实际物理问题的特性，人们转而求解随机变量的主要概率特征，即随机变量的数字特征。主要有：数学期望、矩（原点矩、中心矩等）、方差和均方差、标准差等。随机变量还有单个与多个之分，多个随机变量组成随机变量系或称为多维随机变量，这样又出现了随机变量的独立性、相关性问题，各随机变量之间的关系，从而引出联合分布、边际分布与条件分布等。
大量的研究和经验指出，自然与工程中的随机变量Y，通常是一些已知分布形态的随机变量X的函数。这就使得自然与工程中的随机变量Y的分布形态的确定，转换为已知分布形态的随机变量X与随机变量Y之间的关系的分析研究。实质上是随机变量的函数—Ｙ=ｆ[X（ω）]的研究。对于自然与工程中的随机变量Y，往往可以用已知的分布规律来描述。这时随机变量就成了已知随机变量分布的函数。随机变量有孤立的、非孤立的之分。随机变量函数同样有分布和数字特征。
自然与工程中的随机变量Y，常常与参数t紧密相连，例如地震问题等。如果一个随机试验的结果使用一个时间的函数Y（t）来描述，这个函数Y（t）随试验结果的不同而取不同的变化形式，这种时间t的函数称为随机过程。或说用随机函数Y（t）描述物理过程（工程问题）称随机过程。每一次实验结果所得的具体函数yi(t)称为样本函数。由此可见，随机过程Y（t）不是指某个确定的时间t的函数yi(t)，而是指试验结果所有可能出现的样本函数yi(t)的集合。这样就有对于每一个固定时刻tj有随机变量yi(tj)存在，则称Y（t）为随机过程。或者说随机过程是依赖于时间t的随机变量系[]。确定性的时间函数变量，可以从三个方面进行描述，随机过程Y（t）也可以从三个方面进行描述。它们是：频域描述（频率结构、主导频率、波谱分析、功率谱等）；时域描述（平均性质、相关分析、数字特征、数学期望、相关函数等）；幅域描述（各个时刻的概率分布等）。
随机过程有离散变量X的离散函数随机过程、离散变量X的连续函数随机过程、连续变量X的离散函数随机过程、连续变量X的连续函数随机过程等。重要的随机过程有独立随机过程、马尔可夫过程、独立增量过程、平稳随机过程（如各态历经过程）、非平稳随机过程等。周期函数、富氏级数、非周期函数、富氏积分、富氏变换等概念是极其重要的。
2.2.2数学模型及其描述
所谓问题的数学模型，是将实际问题中涉及到的各个元素转换成数学中所规定的表述形式。也就是将实际问题的元素抽象成（简化成）数学中约定的符号及其关联来表述。这些元素主要是几何学科（平面几何、解析几何、微分几何、拓扑学等）中的元素（点、线、面、体、坐标、基向量等），代数学学科（初等代数、高等代数、线性代数等）中的元素（数、字母、变量、坐标、运算符号、方程、运算法则等），函数与微积分，现代数学（离散数学、概率统计与随机过程、运筹学、）中的元素（集合及其元素、群环及其代数结构、布尔代数、图论、数据结构及其运算法则等）。根据数据所表达的内在规律，应用数学定理、定律，物理与其它学科的定理、定律等，将相互关联的数学元素应用运算符号或运算法则有机的联系在一起，便可以得到数学模型。数学模型是比物理模型更抽象地描述形式，数学模型的符号、语言、概念也更具一般性。对于实际问题中的数学模型来说，往往可以借助物理模型，应用物理定律来建立。当然，对于近代数学所涉及到的数学模型问题，则应重新学习补充。尤其是涉及到的数据结构问题。其基础是离散数学，也就是被抽象为离散量的结构及相互关系的确定，数据（离散量）结构的运算法则研究等。数学是物理的简洁、精确描述语言，例如：作用与反作用定律,F1=-F2)，物理模型与数学模型相互依存（物理定律的数学表达）。同时，数学模型与软件模型相互依存(数结构、计算方法等)。显然，建立数学模型需要渊博熟练的数学知识和经验(初等数学/微积分/变分法/差分法/概率与随机/构造性数学-数据结构等)，需要对机械产品数据化的抽象与简化的训练与感知。
研究分析（观察、试验）并确定（抽象）现实世界中研究对象的系统性质，系统组成，由数学中的基本概念和数学量的定义确定各个数学元素，由定理等确定各个元素的关联、组合等（数学量之间的关系、符号等）是建立实际问题数学模型的基本流程。
一般的说，数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。对于不同的数学结构，对应着相应的算法—运算法则、变换规则。
数学是研究现实世界中的数量关系和空间形式的科学。它的产生和许多重大发展都是和现实世界的生产活动和其他相应学科的需要密切相关的。同时，数学作为知识和改造世界的强有力的工具，又促进了科学技术和生产建设的发展。17世纪伟大的科学家牛顿在研究力学的过程中发明了近代数学中重要的成果之一—微积分，并以微积分为工具推导了著名的力学定律—万有引力定律。这一成就就是科学发展史上成功的建立数学模型的范例。
数学的特点不仅在于它的概念的抽象性、逻辑的严密和结论的确定性，而且在于它的应用的广泛性。进入20世纪以来，数学的应用不仅在它的传统应用领域—所谓物理领域（诸如力学、电学等学科及机电、土木、冶金等工程技术）继续取得许多重要进展，而且迅速进入了一些新领域—所谓非物理领域（诸如经济、交通、人口、生态、医学、社会等领域），产生了如数量经济学、数学生态学等边缘学科。
数学在各门学科中应用的水平，标志着这门学科发展的水平。随着科学技术的进步，特别是电子计算机技术的迅速发展，数学已经渗透到从自然科学技术到工农业生产建设，从经济活动到社会生活的各个领域。一般的说，当实际问题需要我们对所研究的现实对象提供分析、预报、决策、控制等方面的定量结果时，往往离不开数学的应用，而建立数学模型则是这个过程的关键环节。
建立数学模型的全过程，一般来说可分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并且通过这些阶段完成从显示对象到数学模型，在从数学模型回到现实对象的循环，如图2-6所示。
表述是指根据建模的目的和帐务的信息(如数据、现象)，将实际问题翻译成数学问题，用数学语言确切的表述出来。求解即选择适当的数学方法求得数学模型的解答。解释是把数学语言表述的解答翻译回现实对象，给出实际问题的解答。验证是指用现实对象的信息检验得到的解答，以确认结果的正确性。表述属于归纳法，求解属于演绎法。归纳是依据个别现象推断一般规律，演绎是按照一般原理考察特定对象，导出结论。因为任何事物的本质都要通过现象来反映，必然要透过现象来反映，必然要透过偶然来表露，所以正确的归纳不是主观的、盲目的，而是有客观基础的，但也往往是不精细的，带感性的，不容易直接检验其真确性。演绎利用严格的逻辑推理，对解释现象、做出科学预见具有重要意义，但是他要以归纳的结论作为公式化形式的前提，只能在这个前提下保证其正确性，因此归纳和演绎是一个辩证统一的过程：归纳是演绎的基础，演绎是归纳的指导。图7揭示了现实对象和数学模型的关系。数学模型是将现实对象的信息加以翻译、归纳的产物，它源于现实，又高于现实，因为他用精确的语言表述了对象的内在特性。数学模型经过求解、演绎，得到数学上的解答，再经过翻译回到现实对象，给出分析、预报、决策、控制的结果。最后，这些结果必须经受实际的检验，完成实践—理论—实践这一循环。如果检验结果正确或基本正确，就可以用来指导实际，否则应重复上述过程。
建立数学模型的过程与求解
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数学模型要描述的内容
