人们用图表示上面的各种事务之间的关系.
四色猜想四色猜想、四色定理，是世界近代三大数学难题之一。地图四色定理(Fourcolortheorem)最先是由一位叫古德里(FrancisGuthrie)的英国大学生提出来的。
四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”也就是说在不引起混淆的情况下一张地图只需四种颜色来标记就行。
从年提出这个猜想,数学上的证明一直进展缓慢.在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了个小时，作了亿个判断，结果没有一张地图是需要五色的，最终证明了四色定理，轰动了世界。
七桥问题18世纪初普鲁士的哥尼斯堡，有一条河穿过，河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸联系起来（如右上图）。
有个人提出一个问题：一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点。
年29岁的欧拉向圣彼得堡科学院递交了《哥尼斯堡的七座桥》的论文，在解答问题的同时，开创了数学的一个新的分支——图论与几何拓扑，也由此展开了数学史上的新历程。
欧拉把它转化成一个几何问题——一笔画问题。他不仅解决了此问题，且给出了连通图可以一笔画的充要条件是：奇点的数目不是0个就是2个(连到一点的数目如是奇数条，就称为奇点，如果是偶数条就称为偶点，要想一笔画成，必须中间点均是偶点，也就是有来路必有另一条去路，奇点只可能在两端，因此任何图能一笔画成，奇点要么没有要么在两端).
图的定义图是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为：「G=(V，E)」
形象地说，图是由若干点以及连接点与点的边构成的。
G(graph)表示一个图V(vertex)是图G中顶点的集合E(edge)是图G中顶点之间边的集合。连接两点u,v的边用e=(u,v)表示.图的顶点不能为空。
?在线性表中，元素个数可以为零，称为空表；在树中，结点个数可以为零，称为空树；在图中，顶点个数不能为零，但可以没有边。?图的种类一般包括「无向图(Undirectedgraph)」，「有向图(Directedgraph)」，「混合图(Mixedgraph)」。
无向图若
为无向图，则
中的每个元素为一个无序二元组
，称作无向边(Undirectededge)，简称边(Edge)，其中
。设
，则
和
称为
的端点(Endpoint)。
有向图若
为有向图，则
中的每一个元素为一个有序二元组
，有时也写作
，称作有向边(Directededge)或弧(Arc)，在不引起混淆的情况下也可以称作边(Edge)。设
，则此时
称为
的起点(Tail)，
称为
的终点(Head)，起点和终点也称为
的端点(Endpoint)。并称
是
的直接前驱，
是
的直接后继。
V(G)={V1，V2，V3，V4，V5，V6}E(G)={V2，V1，V3，V1，V4，V3，V4，V2，V3，V5，V5，V3，V2，V5，V6，V5，V2，V6，V6，V2}
混合图若
为混合图，则
中既有向边，又有无向边。
赋权图若
的每条边
都被赋予一个数作为该边的权，则称
为赋权图。如果这些权都是正实数，就称
为正权图。
图的属性相邻在无向图
中，若点
是边
的一个端点，则称
和
是关联的(Incident)或相邻的(Adjacent)。对于两顶点
和
，若存在边
，则称
和
是相邻的(Adjacent)。
度简单说来,和顶点连接的边数叫做这个顶点的度.
与一个顶点
关联的边的条数称作该顶点的度(Degree)，记作
。特别地，对于边
，则每条这样的边要对
产生
的贡献。
对于无向简单图，有
。
握手定理(又称图论基本定理)：对于任何无向图
，有
。
推论：在任意图中，度数为奇数的点必然有偶数个。
若
，则称
为孤立点(Isolatedvertex)。
若
，则称
为叶节点(Leafvertex)/悬挂点(Pendantvertex)。
若
，则称
为偶点(Evenvertex)。
若
，则称
为奇点(Oddvertex)。图中奇点的个数是偶数。
若
，则称
为支配点(Universalvertex)。
对一张图，所有节点的度数的最小值称为
的最小度(Minimumdegree)，记作
；最大值称为最大度(Maximumdegree)，记作
。即：
,
。
在有向图
中，以一个顶点
为起点的边的条数称为该顶点的出度(Out-degree)，记作
。以一个顶点
为终点的边的条数称为该节点的入度(In-degree)，记作
。显然
。
对于任何有向图
，有：
路径途径(Walk)/链(Chain)：一个点和边的交错序列，其中首尾是点——
，有时简写为
。其中
的两个端点分别为
和
。通常来说，边的数量
被称作这条途径的长度(如果边是带权的，长度通常指路径上的边权之和，题目中也可能另有定义)。(以下设。)
路径(Path)(又称简单路径(Simplepath))：对于一条迹
，除了
和
允许相同外，其余点两两互不相同，则称
是一条路径。
回路(Circuit)：对于一个路径，若
，则称
是一个回路
环/圈(Cycle)(又称简单回路/简单环(Simplecircuit))：对于一条简单路径
，若
，则称
是一个环。
无向图的联通对于一张无向图
，对于
，若存在一条途径使得
，则称
和
是连通的(Connected)。由定义，任意一个顶点和自身连通，任意一条边的两个端点连通。
若无向图
，满足其中任意两个顶点均连通，则称
是连通图(Connectedgraph)，
的这一性质称作连通性(Connectivity)。
若
是
的一个连通子图，且不存在
满足
且
为连通图，则
是
的一个连通块/连通分量(Connected