第二章矩阵
1.6创建矩阵
1.创建矩阵
2.认识创建方法
基本运算符[]
冒号运算符:
用逗号或空格分隔同一行的元素
用分号或回车键分隔不同的行
创建序列linspace
3.说明
矩阵是一个二维的数据阵列
Matlab是一个基于矩阵的计算环境，最基本的的数据结构是矩阵
单个数值也存储为矩阵，在这种情况下，矩阵的大小为1乘1
再例如HelloWorld这样的字符元素是1×11的矩阵
也支持有两个以上维度的数据结构，即n维数组
4.实例演示
%1_6
[]%空格分隔元素
[1,2,3]%逗号分隔元素
[
]%回车创建不同行
[;]%分号分隔不同行
1:5%行向量:1至5
1:4.5%取整到4
4:1%空的行向量（错误写法）
4:-1:1%4至1行向量（正确写法）
2.5:0.3:3.2%按0.3增长至边界值内
linspace(1,5,5)%参数分别为起点、终点和元素个数
linspace(1,5)%不指定元素个数，则默认个元素
1.7创建矩阵的函数
1.介绍一些创建矩阵的常用函数
2.认识函数
全0矩阵zeros
全1矩阵ones
单位矩阵eye
对角矩阵diag
魔方矩阵magic
随机矩阵rand
上三角矩阵triu
下三角矩阵tril
3.实例演示
%1_7
zeros(1,4)%1行4列全0矩阵
zeros(3,4)%3行4列全0矩阵
zeros(4)%4阶全0矩阵
ones(1,4)%1行4列全1矩阵
eye(3)%3阶单位矩阵
eye(2,3)%2行3列单位矩阵
magic(3)%3阶魔方矩阵
magic(30)
a=rand(1,4)%1行4列随机矩阵
b=rand(4)%4阶随机矩阵
diag(b)%提取对角线元素
diag(a)%a为向量，则将a元素扩展为n阶矩阵
triu(b)%提取上三角形元素
tril(b)%提取下三角形元素
tril(b,1)%添加偏移量参数，1正数往右上
tril(b,2)
tril(b,-1)%向左下偏移1，再取下三角元素
1.8连接矩阵
1.矩阵的连接
2.认识连接方法
基本连接符[]
水平连接horzcat
垂直连接vertcat
平铺复制repmat
对角分块blkdiag
任意维度连接cat
3.说明
矩阵连接是通过连接一个或多个矩阵来创建一个新矩阵的过程
与创建类似，逗号或空格实现水平连接，分号实现垂直连接
连接后的矩阵要仍然保持矩形结构才能实现连接
也就是说，水平连接矩阵，每个矩阵必须具有相同的行数
垂直连接时，每个矩阵必须具有相同的列数
4.实例演示
%1_8
a=[12;34]
b=[56;78]
[a,b]%矩阵水平连接
[a;b]%垂直连接
horzcat(a,b)%水平连接函数
vertcat(a,b)%垂直连接函数
repmat(a,1,3)%平铺复制为1行3列矩阵
repmat(a,3,3)
blkdiag(a,b)%对角分块重组函数：将矩阵a和b整体分别视为对角线上元素进行重组
e=[12]
cat(1,e,e)%任意维度连接：维度、矩阵e、矩阵e。1维按列纵向连接
cat(2,e,e)%2维：横向连接
cat(3,e,e)%3维：页面方向（三维方向）
1.9矩阵索引
1.矩阵的索引
2.认识函数
获取矩阵的行列数size
3.概念
一个矩阵里有多个元素，要想访问或修改其中的元素，使用索引
索引3种方式：
①组合索引A(i,j)，也称下标索引
②线性索引A(i)，按列优先的顺序依次向下索引
③逻辑索引，在逻辑为真的位置返回矩阵的元素
4.说明
组合索引和线性方式可以互换
访问多个元素或不连续的元素可以把索引写成矩阵的形式
逻辑索引的维度必须与矩阵的维度相同
索引超出矩阵范围的元素会报错
5.实例演示
%1_9
a=magic(3)%3阶魔方矩阵
a(2,3)%组合索引：索引第2行第3列元素（2个参数，用逗号分隔）
a(3)%线性索引：列优先索引（1个参数）
size(a)%获取矩阵行列维度
sub2ind([3,3],2,3)%组合索引转化为线性索引，三个输入参数为：矩阵维度、组合索引行位置、组合索引列位置
[row,col]=ind2sub(size(a),8)%线性索引转化为组合索引
%a(3,4)%超出范围报错（初学者常犯错误）
a(1,:)%冒号：表示任意行或任意列
a(:,1)%任意行的第1列
a(:,:)
a(1,2:3)%第1行，第2-3列
a(1,[13])%第1行，第1列和第3列
a(1,end)%end表示最后一个：第1行最后1列
a([13])%线性索引：矩阵a第1个和第3个元素
a([12;45])%提取第1、2和第4、5个元素并分别放置在矩阵第1行和第2行
a(:)%按列优先转变为单个数字序列，返回一列值
b=[12;34]
c=[truefalse;truefalse]%逻辑数组结果用1/0表示
b(c)%逻辑索引：逻辑值为真返回对应元素，为假不返回
1.10矩阵元素修改
1.矩阵元素的修改、添加和删除
2.说明
通过指定矩阵索引修改、添加或删除相应元素
索引超出矩阵范围的元素会报错，但可以赋值
删除元素后的矩阵仍然要保持矩形，否则报错
必要时，对超出矩阵范围的索引赋值需要预分配内存
3.实例演示
%1_10
a=[;;]
a(2,2)=10
a(2)=10
a(3,4)=10%超出矩阵范围索引会报错，但可以赋值。扩展为索引维度再对该索引元素赋值，其余扩充位置填充元素0
a(3:4,4:5)=[12;34]%通过组合索引赋值，先扩展维度再赋值
a(:,2)=[]%任意行第2列变为空：删除
%a(1,2)=[]%矩阵单个元素删除报错，删除单个元素无法保持矩阵维度
a(2)=[]%线性索引先按列优先扩展为单个数字序列，删除单个元素可行
1.11重塑矩阵
1.重塑矩阵包括矩阵的元素重排、旋转、翻转、移位、排序等
2.认识函数
元素重排reshape
旋转rot90
左右翻转fliplr
上下翻转flipud
翻转flip
循环移位circshift
排序sort
按行排序sortrows
判断是否排序issorted
3.实例演示
%1_11
%freexyn
a=[4;]
reshape(a,4,2)%元素重排，参数：矩阵名称、重排行数、重排列数。重排规则：按列优先重排为所需维度
%reshape(a,3,3)%元素数量不符报错
rot90(a)%矩阵旋转：逆时针90度
fliplr(a)%矩阵左右翻转
flipud(a)%矩阵上下翻转
flip(a,1)%矩阵任意方向翻转：参数1为方向，1维方向是上下翻转
flip(a,2)%2维方向是左右翻转
circshift(a,[02])%矩阵循环移位：矩阵、移动步长（用向量表示行数、列数），移动方向为坐标轴正方向
circshift(a,[-12])
sort(a)%矩阵元素的列排序：默认升序排列（行不保持）
sort(a,descend)%参数：降序排列
issorted(a)%判断是否按升序已排列
issorted(a,descend)
b=magic(3)
sortrows(b)%按行（保持）排序：将行视为整体，不指定参数则默认按每行第1元素大小升序排列
sortrows(b,2)%指定参数2，即按每行第2个元素排序
sortrows(b,3)
1.12矩阵属性
1.矩阵的属性
描述矩阵的信息，包括大小、长度、元素数目和维度等
2.认识函数
大小size
长度length
元素数目numel
维度ndims
3.实例演示
%1_12
a=[4;]
size(a)%矩阵行数列数
length(a)%矩阵长度：取行数、列数中的最大值
length(a)%矩阵转至后，长度仍为4
numel(a)%返回元素个数
ndims(a)%矩阵维度数：2即行和列（2维度）
ndims(a(1,:))%组合索引提取出第1行索引再计算维度，即行向量的维度，结果2因仍为行和列（2维度）
ndims(a(1,1))%提出1行1列元素计算维度，结果仍为2，因单元素认为1*1矩阵（2维度）
1.13特殊矩阵形式
1.特殊的矩阵形式：空矩阵、标量和向量
2.认识函数
判断空矩阵isempty
判断标量isscalar
判断向量isvector
3.概念
3.1空矩阵
有一个或多个等于零的维度（0×0，0×1，1×0）
3.2标量
维度为1×1的矩阵，在Matlab中显示为单个实数或复数
3.3向量
维度为1×n或n×1的矩阵，在Matlab中显示为一个行或一个列
4.实例演示
%1_13
%freexyn
a=[]%空矩阵
size(a)%获取行列数
length(a)%矩阵长度
numel(a)%元素个数
ndims(a)%矩阵维度
isempty(a)%判断是否空矩阵
zeros(0,1)%全0矩阵指定一个维度为0
a=2%创建标量
size(a)
length(a)
numel(a)
ndims(a)
isempty(a)
isscalar(a)%判断是否为标量
a=[]%创建向量
size(a)
length(a)
numel(a)
ndims(a)
isempty(a)
isscalar(a)
isvector(a)%判断是否向量
1.14多维数组
1.多维数组的创建和索引方法
2.认识函数
维度简化squeeze
3.概念
Matlab中具有多于两个维度的数据阵列被称为多维数组
多维数组是普通二维矩阵的扩展
如图为3*3*2的三维数组（维度名称分别为行、列、页面）
4.实例演示
%1_14
a=[;;]
b=[;;]
c=a
c(:,:,2)=b%数组c任意行任意列的第2个页面赋值数组b。显示时，对高维数组进行拆分，拆分为2维数组显示
ndims(c)%数组维度
size(c)%行、列、页面数
d=c%3维数组赋值给d
d(:,:,:,2)=c%d的任意行、列、页面的第4个维度的第2索引赋值一个3维数组c。显示时，高维数组依次拆分，遍历循环显示每个2维数组
ndims(d)%4维
size(d)%每个维度大小：
%%用创建矩阵的函数创建高维数组
zeros(2,2,2)%3维全0数组
repmat(10,[])%矩阵平铺重塑：将标量10平铺重塑为2行2列2页面的数组
reshape(c,[])%对高维数组进行重塑：c是3*3*2数组重塑为2*3*3数组
c(1,[12],2)%组合索引：访问数组c中第1行、第1和2列中、第2个页面的元素
d(:,:,1,1)%（4维数组）组合索引：任意行、列、第1页面、第四维度1的元素
c(1,1)%对于3维数组使用低维索引，索引第1行第1列，不指定页面，也可索引。高维数组使用低维索引，会自动用1补齐末尾索引
a(1,1,1)%低维数组用高维索引。原理：Matlab中任何数组都可理解为无限尾随1的高维数组
e=ones(2,2,1,1,1,1,1)%全1矩阵：2行2列，后面尾随1无实际意义
e=ones(2,2,1,1,1,2,1)%全1矩阵：2行2列，第6维为2，会将3、4、5、7维度初始化为0
squeeze(e)%维度简化：简化高维数组中不必要的维度
1.15性能优化
1.在处理大型数组时，兼顾Matlab运算性能的优化
2.说明
使用大型数组时，尽量避免创建不必要的副本
处理数组容量不断变化的问题时，合理的进行预分配内存
把代码放入程序文件中，比在命令窗口中，运算效率高
3.实例演示
%1_15
a=magic(3)
a(3,3)=10
b=a%数据一样，变量名称不同，因此a、b变量同时指向了同一矩阵
a(3,3)=15%执行该命令，先预分配内存并复制一份a的原始值，保留在上个语句b中，然后再改变a的元素值
%预分配内存：输入变量时会初始化分配所需内存，而后续编程中变量变化需要更多内存时，需额外内存支持，可能面临分布式的内存分布，调用效率受到影响，因此需预分配内存
a=zeros(,)%初始化*全0矩阵，Matlab会分配相应内存，在该维度内对元素进行相应修改替换，确保在完整内存中高效运行
%a=zeros(00,00)
（第二章结束，后接第三章）